Question

已知点P（x，y）是椭圆上任意一点xy≠1，直线l的方程为
（I）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（II）直线l过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标．

Answer

（I）由，得，由，知，所以x2-2xx+x2=0，再由根的判别式知直线l与椭圆E只有一个交点．
（II）直线l的方程为2yx-xy-xy=0．设M（-1，0）关于直线l的对称点N的坐标为N（m，n），则，由此能够导出直线PN恒过定点G（1，0）．
【解析】
（I）由，消去y，并整理得，…（2分）
∵，∴，
∴x2-2xx+x2=0，…（4分）
∴△=4x2-4x2=0，
故直线l与椭圆E只有一个交点…（5分）
（II）直线l的方程为x（y-y）=2y（x-x），
即2yx-xy-xy=0．…（6分）
设M（-1，0）关于直线l的对称点N的坐标为N（m，n），
则，
解得．…（8分）
∴直线PN的斜率为k=，
从而直线PN的方程为
，
即，
从而直线PN恒过定点G（1，0）．…（12分）