Question

在平面直角坐标系中，若，，且．
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点N（2，1），是否存在一条直线l与轨迹C相交于A、B两点，且以点N为线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）把代入，化简，即可得到动点M（x，y）的轨迹C的方程．
（Ⅱ）先假设存在以点N为线段AB的中点的直线l，设A，B点坐标，根据A，B点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法求斜率，若能求出，则存在，写出直线方程，若求不出，则不存在．
【解析】
（Ⅰ）∵，，且
∴，即动点M（x，y）到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离距离之和为常数10                 
∵10＞8，∴动点M（x，y）的轨迹C是以F1（-4，0），F2（4，0）为焦点，2a=10的椭圆∴
（Ⅱ）假设存在以点N为线段AB的中点的直线l，
显然直线l不可能与x轴垂直，
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），则∵点A、B在椭圆C：上，
∴，
∴
又∵点N是线段AB的中点，N（2，1），∴x1+x2=4，y1+y2=2
∴，
∴
∴直线l：，即18x+25y-61=0
故存在满足以点N为线段AB的中点的直线l，
其方程为18x+25y-61=0