Question

设函数y=f（x）的定义域与值域均为R，其反函数为y=f^-1（x），且对任意实数x都有．现有数列a₁=1，，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）（文）求满足对所有n∈N^*恒成立的m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）因为数列{an}满足a1=1，，an+1=f（an）（n∈N*）且   所以，化简得，，又因为  bn=an+1-an（n∈N*），所以，可判断 数列{bn}是公比为 的等比数列，进而可求出数列{bn}的通项公式． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）中数列{bn}的通项公式，以及bn=an+1-an可得数列{an}的递推公式，再用迭代法求出数列{an}的通项公式，就可把化为含m，n的不等式，求出m在那个范围时，对所有n∈N*恒成立．
【解析】
（Ⅰ）∵an+1=f（an），∴an=f-1（an+1）
∵任意实数x都有，∴
∵an+1=f（an），即an=f-1（an+1），∴f（an+1）=an+2，f-1（an+1）=an
∴，即
∵bn=an+1-an（n∈N*），a1=1，
∴数列{bn}是以为首项，以为公比的等比数列
故数列{bn}的通项为
（Ⅱ）（文）由得an-a1=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）
==
又∵a1=1，∴（n∈N*），即数列{an}是递增数列，且an＜3（n∈N*）
∴满足对所有n∈N*恒成立的参数m必须满足，即．又，故满足对所有n∈N*恒成立的参数m的取值范围为．