Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，并且a₁=1，对任意正整数n，S_n+1=4a_n+2；设b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，3，…）．
（I）证明数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（II）设的前n项和，求T_n．

Answer

（I）由Sn+1=4an+2，知Sn=4an-1+2（n≥2），所以an+1=4an-4an-1（n≥2），由此可知bn=3•2n-1（n∈N*）．
（II）由题意知，，由此可知．
【解析】
（I）∵Sn+1=4an+2，∴Sn=4an-1+2（n≥2），
两式相减：an+1=4an-4an-1（n≥2），∴an+1=4（an-an-1）（n≥2），∴bn=an+1-2an，
∴bn+1=an+2-2an+1=4（an+1-an）-2an+1，bn+1=2（an+1-2an）=2bn（n∈N*），
∴，∴{bn}是以2为公比的等比数列，（4分）
∵b1=a2-2a1，而a1+a2=4a1+2，∴a2=3a1+2=5，b1=5-2=3，
∴bn=3•2n-1（n∈N*）（7分）
（II），
∴，（9分）
而，
∴（12分）