Question

（理科）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒． 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需1元；假定每个成活的坑可收获100粒试验种子．
（1）用ξ表示补种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；
（2）用η表示收获试验种子粒数，分别求出两种方案的η的数学期望；
（3）由此你能推断出怎样的结论？

Answer

（1）方案一：由题意可得：ξ1～B（40，），根据二项分布的公式可得其期望，方案二：由题意可得：ξ2～B（60，），再根据二项分布的公式可得其期望．
（2）方案一：一个坑内种子成活的概率为，方案二：一个坑内种子成活的概率为，进而分布求出η的数学期望．
（3）方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大．
【解析】
（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p1=（0.5）3=，由题意可得：ξ1～B（40，），
∴所求的数学期望为Eξ1=40×=5元；
方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为p2=（0.5）2=，由题意可得：ξ2～B（60，），
∴所求的数学期望为Eξ2=60×=15元；
（2）方案一：一个坑内种子成活的概率为q1=+×=，
∴所求的数学期望为Eη1=100×40×=3987.5粒；
方案二：一个坑内种子成活的概率为q2=+×=，
∴所求的数学期望为Eη2=100×60×=5625粒．
（3）方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大．