Question

已知向量n=（1，0），点A（0，2），动点P满足：||比向量在n的方向上的投影多2．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）在P点的轨迹上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）根据向量在n的方向上的投影为||cos∠POx，即P点到y轴的距离，又||比向量在n的方向上的投影多2，得出P点到原点的距离等于它到直线x=-2的距离，最后根据抛物线的定义得出所求的轨迹方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的两点B、C，再利用均值不等式，求出y2的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）∵向量在n的方向上的投影为||cos∠POx，即P点到y轴的距离，又||比向量在n的方向上的投影多2，
∴P点到原点的距离等于它到直线x=-2的距离，∴P点的轨迹是以原点为焦点、直线x=-2为准线的抛物线．
故所求的轨迹方程为y2=4（x+1）．
（2）假设存在这样的两点B、C，设B（y12-1，y1），C（y22-1，y2），
则=（y12-1，y1-2）=（ y1-2）（y1+2，4），
=（y22-y12，y2-y1）=（ y2-y1） （y2+y1，4），
又AB⊥BC，∴•=0，即（ y1-2）（ y2-y1）[（y1+2）（y2+y1）+16]=0，
即y2=--y1=2-（+y1+2）．由均值不等式得y2≥10或y2≤-6．
故存在这样的两点B、C，且C点的纵坐标的取值范围为 （-∞，-6]∪[10，+∞）．