Question

（文科）数列{a_n}是首项为21，公差d≠0的等差数列，记前n项和为S_n，若S₁₀和S₁₉的等比中项为S₁₆．数列{b_n}满足：b_n=a_na_n+1a_n+2．
求：（1）数列{a_n}的通项a_n；（2）数列{b_n}前n项和T_n最大时n的值．

Answer

（1）由首项为21，公差为d设出此等差数列的通项公式，以及前n项和公式，进而表示出S10，S19以及S16，由S10和S19的等比中项为S16，根据等比数列的性质列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，代入设出的通项公式即可得到数列{an}的通项an；
（2）令（1）求出的通项公式大于0，求出n的范围，进而得到n小于10，bn=anan+1an+2大于0，n大于11，bn=anan+1an+2小于0，根据递推公式Tn=Tn-1+bn，可得当bn＞0时，Tn＞Tn-1；当bn＜0时，Tn＜Tn-1，从而得到n小于10，，Tn}递增；当n大于11时，{Tn}递减，同时利用通项an，求出b10以及b11的值，即可得到数列{bn}前n项和Tn最大时n的值．
【解析】
（1）设an=21+（n-1）d（d≠0），
则Sn=21n+d，
∴Sn=21+d，
∴S10=21+d，S19=21+9d，S16=21+d．
由题设可知：（S16）2=（S10）•（S19），
即（21+d）2=（21+d）•（ 21+9d），解得d=-2，
∴an=21-2（n-1）=23-2n；
（2）由an=23-2n＞0，得n＜12．
∴当n＜10时，bn=anan+1an+2＞0；
当n＞11时，bn=anan+1an+2＜0．
而Tn=Tn-1+bn，
∴当bn＞0时，Tn＞Tn-1；当bn＜0时，Tn＜Tn-1．
∴当n＜10时，{Tn}递增；当n＞11时，{Tn}递减．
又b10=a10a11a12=-3，b11=a11a12a13=3，
∴T9=T11，
∴当n=9或11时，{ Tn}取最大值．