Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足；数列{b_n}满足
（1）求证：数列{a_n}是等差数列．
（2）若a₁=1，a₂=2，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列前n项和为T_n，试比较与（2n²+3n-2）•2^n-1的大小．

Answer

（1）根据题目条件可得2Sn=n（a1+an），则当n≥2时，2Sn-1=（n-1）（a1+an-1）两式作差可得a1+（n-2）an=（n-1）an-1，进而a1+（n-1）an+1=nan，两式作差可得an+1-an=an-an-1，根据等差数列数列的定义可得结论；
（2）根据等差数列的定义可求出其通项公式，利用递推关系可求出数列{bn}的通项公式；
（3）利用错位相消法求出数列前n项和为Tn，然后利用作差可比较与（2n2+3n-2）•2n-1的大小．
【解析】
（1）∵，∴2Sn=n（a1+an）①
当n≥2时，2Sn-1=（n-1）（a1+an-1）②
①-②得：2an=a1+nan-（n-1）an-1，即a1+（n-2）an=（n-1）an-1③
进而a1+（n-1）an+1=nan④
③-④得2（n-1）an=（n-1）an-1+（n-1）an+1，由于n≥2，∴an+1-an=an-an-1
所以数列{an}是等差数列．（4分）
（2）由（1）知数列{an}是等差数列，且a1=1，a2=2，所以an=n
∵⑤
∴当n=1时，，当n≥2时，⑥
由⑤-⑥得：，∴，而也符合，
故an=n，（7分）
（3），∴Tn=1•3+2•32+…+n•3n⑦3Tn=1•32+2•33+…+n•3n+1⑧
⑦-⑧并化简得：（10分）
所以（2n2+3n-2）•2n-1=（2n-1）[3n-（n+2）2n-1]+1
因为3n=（2+1）n=2n+Cn12n-1+…≥2n+n•2n-1=（n+2）2n-1
所以3n≥（n+2）2n-1对于n∈N*成立，
∴3n-（n+2）2n-1≥0，又由于2n-1＞.0
所以（2n2+3n-2）•2n-1=（2n-1）[3n-（n+2）2n-1]+1＞0
所以（2n2+3n-2）•2n-1（13分）