Question

已知动圆P与圆相切，且经过点．
（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）设O为坐标原点，圆D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圆D与曲线C交于关于x轴对称的两点A、B（点A的纵坐标大于0），且，请求出实数t的值；
（3）在（2）的条件下，点D是圆D的圆心，E、F是圆D上的两动点，满足，点T是曲线C上的动点，试求的最小值．

Answer

（1）先由点N在圆M内，得圆M，P相内切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，可得动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆；即可求出动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）：可得OA⊥OB，再由对称性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直线OA的方程为y=x，与椭圆方程联立可以求得点A的坐标；再利用点A在圆D代入即可求出实数t的值；
（3）先由知，D是线段EF的中点，设出各点坐标，代入整理为一元二次函数，利用一元二次函数在固定区间上的最值求法即可求的最小值．
【解析】
（1）设动圆P的圆心坐标为P（x，y），
则由题意知：点N在圆M内，故圆M，P相内切，
∴|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，
所以，动圆圆心P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆；
所以，动点P的轨迹方程为，．
（2）：∴OA⊥OB，由对称性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直线OA的斜率kOA=1，直线OA的方程为y=x，
由，得A（1，1）；
又点A在圆D：（x-t）2+y2=t2（t＞0）上，
∴（1-t）2+1=t2，解得t=1．
（3）：由知，D是线段EF的中点，
不妨设E（x1，y1），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x1，-y1）
设T（x，y），
则=（x1-x，y1-y）•（2-x1-x，-y1-y）
=（x1-x）（2-x1-x）+（y1-y）（-y1-y）
=2（x1-x）-（x12-x2）+（y2-y12）
=-x12+2x1-y12+x2+y2-2x
=-[（x1-1）2+y12]+1+x2+y2-2x
=x2-2x+（1-）
=-；
由-2≤x≤2知，当x=时，的最小值为-；