Question

已知椭圆的长轴为4，且点在该椭圆上．
（I）求椭圆的方程；
（II）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，若以AB为直径的圆径的圆经过原点，求直线l的方程．

Answer

（I）由已知可求，a=2，由点在该椭圆上，代入可求b，从而可求椭圆的方程
（II）AB为直径的圆过原点⇔⇔x1x2+y1y2=0，从而考虑设直线方程，联立直线于椭圆方程进行求解即可．
【解析】
（I）由题意2a=4，a=2
∵点在该椭圆上，∴  解可得，b2=1
∴所求的椭圆的方程为
（II）由（I）知c2=a2-b2=3∴，椭圆的右焦点为（，0）
因为AB为直径的圆过原点，所以
若直线的斜率不存在，则直线AB的方程为x=交椭圆于两点
不合题意
若直线的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为
由可得
由直线AB过椭圆的右焦点可知△＞0
设A（x1，y1）B（x2，y2）
则
又==
由==0可得
所以直线l的方程为