Question

已知函数f（x）=2^x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使|af（x）-f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2-at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
【解析】
（1）
（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2-at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2-at＞1或t2-at＜-1
即存在t∈（0，1）使得
∴a＜0或a≥2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立
∴
设m（x）=令
∴
所以，当t=1时，m（x）max=1∴a≥1