Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是边长为2的正三角形，且DE=2AB=2，F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求面ABC与面EDC所成的二面角的大小（只求其中锐角）；
（3）求BE与平面AFE所成角的大小．

Answer

（1）取CE的中点为M，则FM∥DE，并且FM=DE，结合题意可得：AB∥FM，并且AB=FM，即得到ABMF为平行四边形，所以AF∥BM，进而结合线面平行的判定定理得到线面平行．
（2）过点C作直线l∥AB，则l∥DE，可得平面ABC∩平面CDE=l，结合题意可得：l⊥平面ACD，再由二面角的定义可得：∠ACD即为所求二面角的平面角，进而利用解三角形的有关知识得到答案．
（3）设B在平面AFE内的射影为B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，得到BE与平面AFE所成角即为∠BEB′，再把线面角放入直角三角形中，进而利用解三角形的有关知识求出线面角．
【解析】
（1）证明：取CE的中点为M，则FM∥DE，并且FM=DE，
由题意可得：AB∥DE，并且AB=DE，
所以AB∥FM，并且AB=FM，
所以ABMF为平行四边形，
所以AF∥BM，
又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，
所以AF∥平面BCE．
（2）过点C作直线l∥AB，则l∥DE，

所以平面ABC∩平面CDE=l，
因为AB⊥平面ACD，
所以l⊥平面ACD，
所以AC⊥l，CD⊥l，
所以∠ACD即为所求二面角的平面角．
又因为，△ACD是边长为2的正三角形，
所以∠ACD=60°，即面ABC与面EDC所成的二面角的大小为60°．
（3）设B在平面AFE内的射影为B′，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G，
所以BE与平面AFE所成角即为∠BEB′，
因为AF⊥CD，AF⊥DE，
所以AF⊥平面CDE，所以AF⊥MN，
又因为MN⊥FE，AF∩EF=F，并且AF⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，
所以MN⊥平面AEF．
因为BM∥平面AEF，
所以BB′=MN，
由△CGF∽△EDF可得：CG=，所以MN==，
因为BE=，
所以sin∠BEB′==，
所以∠BEB′=arcsin．