Question

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．

Answer

（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；
（2）由（1）可知，f（x）的最小值为 ，a＞0，构造函数设 ，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．
【解析】
（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而 ，
∵a＞0，x＞-1，∴当 时，f'（x）＜0，
当 时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ．     
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
为 ，a＞0． 
要证明 ，
只须证明 成立．            
设 ，x∈（0，+∞）．                               
则 ，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ．
取 得到 成立．                   
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取 得到 成立．因此，．