Question

已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx（k＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为x_A、x_B，记f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）设数列{a_n}满足，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在 （2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式．

Answer

（1）由y=，求出切线方程为，与y=kx联立得：，xB=2t，再由f（t）=xA•xB，能求出f（t）的解析式．
（2）由得：，=，设，则=，由此导出，解得．
（3）因为=，由1＜k＜3，知，所以=（）+（）+…+（）=＞
=＞0，由此能够证明．
【解析】
（1）∵y=，
∴，
∴切线方程为，
与y=kx联立得：，令y=0，得：xB=2t，
∵f（t）=xA•xB，
∴（k＞0，t＞1）．
（2）由得：，
=，
设，
则=，
∵a1=1，
∴①当k=3时，，
∴{bn}是以0为首项的常数数列，
∴an=1．
②当k≠3时，{bn}是以1-为首项，为公比的等比数列，
∴，
解得，
由①②，得．
（3）∵
=
=，
∵1＜k＜3，
∴，
∴
=（）+（）+…+（）
=
=
＞
=，
∵1＜k＜3，
∴＞0．
∴．