Question

已知动点M到点的距离比它到y轴的距离多．
（I）求动点M的轨迹方程；
（II）设动点M的轨迹为C，过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，若y轴正半轴上存在点P使得△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer

（I）由题知，点M到点F的距离与它到直线x=-的距离相等，根据抛物线的定义能求出点M的轨迹方程．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D（x，y），直线l：，联立，得，由此入手，能求出直线l的方程．
【解析】
（I）由题知，点M到点F的距离与它到直线x=-的距离相等，
根据抛物线的定义，知点M的轨迹方程为y2=2px．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D（x，y），直线l：，
联立，得，
则，，
∴，
=-p2，
∴，由题知，
令x=0得，，
又PA⊥PB，
∴，
化简，得yp2-（y1+y2）yp+y1y2+x1x2=0，
即3k6+3k4-4k2-4=0，
（3k4-4）（k2+1）=0，
解得（舍负），
∴直线l的方程：．