Question

已知：a₁＜a₂＜a₃，b₁＜b₂＜b₃，a₁+a₂+a₃=b₁+b₂+b₃，a₁a₂+a₁a₃+a₂a₃=b₁b₂+b₁b₃+b₂b₃且a₁＜b₁，有下列四个命题
（1）b₂＜a₂；     （2）a₃＜b₃； （3）a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃；  （4）（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）＞（1-b₁）（1-b₂）（1-b₃）．
其中真命题个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

设 b1-a1=t1，b2-a2=t2，b3-a3=t3，由题意得 t1+t2+t3=0，t1＞0．再由条件得到 a12+a22+a32=b12+b22+b32，a1+b1＜a2+b2＜a3+b3．从而得到 t3点处于0点右侧，t2 处于0点左侧，t1＞0，t2＜0，t3＞0．故得 b2＜a2 ，a3＜b3，由于（3）、（4）选项是等价的，将b1-a1=t1，b2-a2=t2，b3-a3=t3代入题目条件，化简即可得出 a1a2a3＜b1b2b3，故选项（3）为真命题，此题目真命题为（1）、（2）、（3）、（4），进而得出结论．
【解析】
设 b1-a1=t1，b2-a2=t2，b3-a3=t3，由条件1，可得 t1+t2+t3=0．
因已知 a1＜b1 ，则t1＞0，且t2、t3中至少有一个小于零．
则可根据此在一维坐标上作点，设原点为0，右向为x轴正向，则t1处于0点右侧，此时，t2 、t3点的位置有三种情况，分别为：
①t2处于0点右侧，t3处于0点左侧，则|t3|=-t3=t1+t2＞0；
②t3点处于0点右侧，t2 处于0点左侧，则|t2|=-t2=t1+t3＞0；
③t2点与t3点同时处于0点左侧，则|t1|=t1=|t2+t3|=-t2+t3＞0；
结合题目中所给出的条件，可得 a12+a22+a32=b12+b22+b32，对上式进行处理得：（ a1+b1）t1+（a2+b2）t2+（a3+b3）t3=0．
由已知条件1可得：a1+b1＜a2+b2＜a3+b3．
结合前述的一维图可判断出只有第  ②情况才符合，即：t3点处于0点右侧，t2 处于0点左侧，t1＞0，t2＜0，t3＞0．
因此，可得出 b2＜a2，a3＜b3 ．
再对题目的（3）、（4）选项分析，可得出，（3）、（4）选项是等价的． 因此我们只需要判断第（3）选项是否正确即可．
判断方法：将b1-a1=t1，b2-a2=t2，b3-a3=t3代入题目条件，化简即可得出 a1a2a3＜b1b2b3，故选项（3）为真命题．
总结：此题目真命题为（1）、（2）、（3）、（4）．
故选D．