Question

设函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N^*）
（1）若F_n（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），求F_n（x）的取值范围；
（2）若F_n（x）=f（x-b）-f（x-a），对任意n≥a （2≥a＞b＞0），证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）^n-2．

Answer

（1）利用已知条件，通过Fn（x）=f（x-a）+f（b-x）（0＜a＜x＜b），化简函数的表达式，通过函数的单调性，求出函数Fn（x）的取值范围；
（2）利用Fn（x）=f（x-b）-f（x-a），x≥a＞0，n≥a，说明函数的单调性，对任意n≥a （2≥a＞b＞0），利用作商法累加法，直接证明：F（n）≥n（a-b）（n-b）n-2．
【解析】
（1）∵Fn（x）=f （x-a）+f（b-x）=（x-a）n+（b-x）n
Fn（x）=n（x-a）n-1+n（b-x）n-1•（-1）=n[（x-a）n-1-（b-x）n-1]
令Fn（x）=0得（x-a）n-1=（b-x）n-1
∵0＜a＜x＜b∴f （x）=xn（n≥2，n∈N+）为单调增函数
∴x=

x （a，） （，b）
Fn（x） - +
Fn（x） 单调减 极小值 单调增

∴Fn（x）min=Fn（）=（）n+（）n=
又Fn（x）在x=a，x=b处连续且Fn（a）=Fn（b）=（b-a）n
故≤Fn（x）＜（b-a）n
即Fn（x）的取值范围为[，（b-a）n）…（7分）
（2）证明：∵Fn（x）=f（x-b）-f（x-a）=（x-b）n-（x-a）n
∴Fn（x）=n[（x-b）n-1-（x-a）n-1]
则Fn（n）=n[（n-b）n-1-（n-a）n-1]
∵当x≥a＞0时F（x）＞0
∴当x≥a＞0时Fn（x）是关于x的增函数
∴当n≥a时，（n+1-b）n-（n+1-a）n＞（n-b）n-（n-a）n＞0
∴Fn（n+1）=（n+1）[（n+1-b）n-（n+1-a）n]＞（n+1）[（n-b）n-（n-a）n]
＞（n+1）[（n-b） （n-b）n-1-（n-b） （n-a）n-1]
=（n+1）（n-b）[（n-b）n-1-（n-a）n-1]
=（n-b）•F（n）
而Fn（n）＞0
于是＞•（n-b）
而F（2）=2[（2-b）2-1-（2-a）2-1]=2（a-b）
当n≥3时
F（n）=•…•F（2）
＞•…•2（a-b）•（n-b）n-2
=n（a-b）（n-b）n-2
即F（n）≥n（a-b）（n-b）n-2…（14分）