Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对任意正整数n都成立，其中m为常数，m＜-1
（1）求证：{a_n（2）}是等比数列；
（3）设数列{a_n（4）}的公比q=f（m）（5），数列{b_n}（6）满足：（7），b_n=f（b_n-1）（8）（n≥2，n∈N）（9），求数列{b_nb_n+1}（10）的前n（11）项和T_n（12）

Answer

（1）由已知得：an+1=man-man+1，即（m+1）an+1=man对任意n∈N*都成立．所以 ，由此知数列{an}等比数列．
（2）因为a1=1，从而 ，所以 ，，即 ． ，，由此入手能求出Tn．
【解析】
（1）由已知Sn+1=（m+1）-man+1（1）Sn=（m+1）-man（2）
由（1）-（2）得：an+1=man-man+1，
即（m+1）an+1=man对任意n∈N*都成立．∵m为常数，且m＜-1．
又∵a1=1≠0∴，即数列{an}等比数列（5分）
（2）当n=1时，a1=（m+1）-ma1，
∴a1=1，从而 ，由（1）得，
∴
∴，即 ．
∴为等差数列，，，
=，
Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1
=
=．