Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，n∈N^*．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_2n-1b_2n+1，求使得对一切n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）设数列{b_n}的前n和为S_n，T_n=S_2n-S_n，试比较T_n+1与T_n的大小．

Answer

（1）由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1，所以bn-bn+1=bnbn+1，从而得，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（2）由cn=b2n-1b2n+1=，知=c1+c2+…+cn=，要使对一切n∈N*都成立，必须并且只须满足≤，由此能求出满足要求的最小正整数m．
（3）由，知Tn=S2n-Sn=．由此利用作差法能够比较Tn+1与Tn的大小．
【解析】
（1）由bn=an-1，
得an=bn+1，
代入an-1=an（an+1-1），
得bn=（bn+1）bn+1，
整理得bn-bn+1=bnbn+1，---（2分）
∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾，
从而得，-（4分）
∵b1=a1-1=1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列
∴，
即．-（5分）
（2）∵cn=b2n-1b2n+1=
=--（6分）
∴=c1+c2+…+cn
=
=--（8分）
∴要使对一切n∈N*都成立，
必须并且只须满足≤，即m≥5，
∴满足要求的最小正整数m为5．--（10分）
（3）∵
∴Tn=S2n-Sn=
=--（12分）
又∵
==
∴Tn+1＞Tn．----（14分）