Question

设a＞0，f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

Answer

（1）当a=2时，f（x）=x2+2|lnx-1|，利用零点分段法，我们可将函数化为分段函数的形式，进而根据分段函数分段处理的原则，分别求出当x＞e时，和当0＜x＜e时，导函数的解析式，利用导数法，即可求出f（x）的单调区间；
（2）类比（1），利用导数法，我们可以判断出f（x）在（e，+∞）单增，f（x）在单增，f（x）在单减，进而根据分段函数最值的求法，可得当时，fmin（x）=f（e）=e2，当时，，当时，fmin（x）=f（1）=1+a．
【解析】
（1）当a=2时，
当x＞e时，恒成立，
当0＜x＜e时，，
令f′（x）＞0得1＜x＜e
又，
故f（x）在x=e处连续，
所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）当x＞e时，，故f（x）在（e，+∞）单增
当0＜x＜e时，，
令
则f（x）在单增，
f（x）在单减．
又f（x）在x=e处连续．
故，当时，
fmin（x）=f（e）=e2
当时，

当时，
fmin（x）=f（1）=1+a