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如图,在棱长为1的正方体ABCE-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是...

如图,在棱长为1的正方体ABCE-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.
(1)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(2)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1-EF-A的余弦值.

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(1)建立空间直角坐标系,表示出直线D1E所在的向量与AF所在的向量,利用线面垂直关系得到向量的数量积为0,进而得到答案. (2)分别求出两个平面的法向量,再求出两个向量的夹角,利用向量的夹角与二面角之间的关系可得二面角的余弦值. 【解析】 (1)以点A为原点,分别为x轴,y轴,z轴正向建立如图所示空间直角坐标系A-xyz, 正方体ABCD-A1B1C1D1中,A(0,0,0),B1(1,0,1),E(1,,0) 设F(a,1,0)(0≤a≤1)则,,, ∴即D1E⊥AB1 要使得D1E⊥平面AB1F, ∴必须且只需即,即:a=. 当时,点F为CD的中点,则D1E⊥AF 又因为D1E⊥AB1,AF∩AB1=A 所以D1E⊥平面AB1F. 所以当点F为CD的中点时,D1E⊥平面AB1F. (2)由(1)可得点F为CD的中点,所以F(),所以. 因为,所以. 设是平面C1EF的一个法向量, 则, 于是 取z=1,则y=-2,x=-2,所以=(-2,-2,1)是平面C1EF的一个法向量. 又因为=(0,0,1)是平面AEF的一个法向量, 所以cos=, 因为二面角C1-EF-A为钝角,所以二面角C1-EF-A的余弦值.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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