Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设由b_n=（c≠0）构成的新数列为{b_n}，求证：当且仅当c=-时，数列{b_n}是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列{b_n}，设c_n=（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和为T_n，现有数列{f（n）}，f（n）=T_n•（a_n+3-）•0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n∈N^*，使f（n）≤f（n）对一切n∈N^*都成立？若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意，由等差数列的性质，有a1+a4=a2+a3=14，与a2•a3=45联立，计算可得数列{an}的通项公式；
（2）首先计算Sn，代入数列 ，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．
（3）求出cn的表达式，数列{cn}的前n项和为Tn，得到f（n）的关系式，通过作差法对n讨论，求出n的取值，
【解析】
（1）∵等差数列{an}中，公差d＞0，
∴（3分）
（3分）
（2），=，
由2b2=b1+b3得 ，化简得2c2+c=0，c≠0，
∴
反之，令 ，即得bn=2n，显然数列{bn}为等差数列，
∴当且仅当 时，数列{bn}为等差数列．（9分）
（3）cn==，∴+
f（n）=Tn•（）•0.9n==4（n-1）•0.9n（11分）
∵f（n+1）-f（n）=4•0.9n[0.9n-（n-1）]=4•0.9n[1-0.1n]n∈N+
∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n），
f（n）max=f（10）=f（11），（13分）
∴存在n=10或11，使f（n）≤f（n）对一切n∈N*都成立．（14分）