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已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a3=45,a...

已知等差数列{an}中,公差d>0,其前n项和为Sn,且满足a2•a3=45,a1=a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设由bn=manfen5.com 满分网(c≠0)构成的新数列为{bn},求证:当且仅当c=-manfen5.com 满分网时,数列{bn}是等差数列;
(3)对于(2)中的等差数列{bn},设cn=manfen5.com 满分网(n∈N*),数列{cn}的前n项和为Tn,现有数列{f(n)},f(n)=Tn•(an+3-manfen5.com 满分网)•0.9n(n∈N*),是否存在n∈N*,使f(n)≤f(n)对一切n∈N*都成立?若存在,求出n的值,若不存在,请说明理由.
(1)根据题意,由等差数列的性质,有a1+a4=a2+a3=14,与a2•a3=45联立,计算可得数列{an}的通项公式; (2)首先计算Sn,代入数列 ,可得其通项公式,运用等差中项的性质分析,可得答案. (3)求出cn的表达式,数列{cn}的前n项和为Tn,得到f(n)的关系式,通过作差法对n讨论,求出n的取值, 【解析】 (1)∵等差数列{an}中,公差d>0, ∴(3分) (3分) (2),=, 由2b2=b1+b3得 ,化简得2c2+c=0,c≠0, ∴ 反之,令 ,即得bn=2n,显然数列{bn}为等差数列, ∴当且仅当 时,数列{bn}为等差数列.(9分) (3)cn==,∴+ f(n)=Tn•()•0.9n==4(n-1)•0.9n(11分) ∵f(n+1)-f(n)=4•0.9n[0.9n-(n-1)]=4•0.9n[1-0.1n]n∈N+ ∴当n<10时,f(n+1)>f(n),当n=10时,f(n+1)=f(n),当n>10时,f(n+1)<f(n), f(n)max=f(10)=f(11),(13分) ∴存在n=10或11,使f(n)≤f(n)对一切n∈N*都成立.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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