Question

一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经验，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛结束．设全局比赛相互间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数（不计甲负乙的局数），求ξ的概率分布和数学期望（精确到0.0001）．

Answer

甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ，它的可能取值是0、1、2、3四个值，结合变量对应的事件，写出概率，特别是当ξ=3时，本场比赛共三局、或四局、或五局．其中共赛三局时，甲连胜这三局；共赛四局时，第四局甲胜，且前三局中甲胜两局；共赛五局时，第五局甲胜，且前四局中甲胜两局；写出分布列和期望．
【解析】
甲选手胜乙选手的局数作为随机变量ξ，它的取值共有0、1、2、3四个值．
①当ξ=0时，本场比赛共三局，甲选手连负三局，
P（ξ=0）=（1-0.6）3=0.064；
②当ξ=1时，本场比赛共四局，甲选手负第四局，且前三局中，甲胜一局，
P（ξ=1）=C310.63×（1-0.6）3=0.1152；
③当ξ=2时，本场比赛共五局，甲选手负第五局，且前四局中，甲胜二局，
P（ξ=2）=C420.62×（1-0.6）3=0.13824；
④当ξ=3时，本场比赛共三局、或四局、或五局．其中共赛三局时，甲连胜这三局；
共赛四局时，第四局甲胜，且前三局中甲胜两局；共赛五局时，第五局甲胜，且前四局中甲胜两局；
P（ξ=3）=0.63+C320.63×（1-0.6）+C420.63×（1-0.6）2=0.68256
∴ξ的概率分布列为：
 ξ  0 1  2  3 
 P  0.064 0.1152  0.13824  0.68256 

∴Eξ=0×0.064+1×0.1152+2×0.13824+3×0.68256=2.43926≈2.4394．