Question

由部分自然数构成如图的数表，用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i，j∈N^*），使a_i1=a_ii=i，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和．设第n（n∈N^*）行中各数之和为b_n．
（1）求b₆；
（2）用b_n表示b_n+1；
（3）试问：数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p，q，r∈N^*）恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）注意观察，寻找规律，求出b6．
（2）bn+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=2（an1+an2+…+ann）+2
=2bn+2．
（3）由题设知bn+2=3•2n-1⇒bn=3•2n-1-2，设p＞q＞r，{bn}是递增数列，由此能导出数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br恰好成等差数列．
【解析】
（1）b6=6+16+25+25+16+6=94．（2分）
（2）bn+1=a（n+1）1+a（n+1）2+…+a（n+1）（n+1）=n+1+（an1+an2）+…+（an（n-1）ann）+n+1=2（an1+an2+…+ann）+2
=2bn+2；（6分）
（3）∵bn+1=2bn+2，
∴bn+1+2=2（bn+2）（8分）
所以{bn+2}是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，（9分）
则bn+2=3•2n-1⇒bn=3•2n-1-2．（11分）
若数列{bn}中存在不同的三项bp，bq，br（p，q，r∈N*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然{bn}是递增数列，则2bq=bp+br（12分）
即22（3•2q-1-2）=（3•2p-1-2）+（3•2r-1-2），化简得：2•2q-r=2p-r+1（*）（14分）
由于p，q，r∈N*，且p＞q＞r，知q-r≥1，p-r≥2，
所以（*）式左边为偶数，右边为奇数，
故数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br（p，q，r∈N*）恰好成等差数列．（16分）