Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为棱BB₁，DD₁和CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁F∥平面DEG；
（Ⅱ）求三棱锥D₁-A₁AE的体积；
（Ⅲ）试在棱CD上求一点M，使D₁M⊥平面DEG．

Answer

（Ⅰ） 证明四边形DGC1F是平行四边形，可得C1F∥DG，从而证明C1F∥平面DEG．
（Ⅱ） 利用A1D1 是三棱锥D1-A1AE的高，等于1，由VD1-A1AE=求得结果．
（Ⅲ）当点M是CD的中点时，有使D1M⊥平面DEG．由BC⊥面CDD1C1，可得BC⊥D1M．又 BC∥EG，得到 D1M⊥EG，再由D1M⊥DG 可得D1M⊥平面DEG．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点．
∴DF∥C1C，且 DF=C1C，∴四边形DGC1F是平行四边形，∴C1F∥DG．
∵DG⊂平面DEG，C1F 不在平面DEG 内，∴C1F∥平面DEG．
（Ⅱ）正方体ABCD-A1B1C1D1中，有 A1D1⊥面AA1E，故 A1D1 是三棱锥D1-A1AE的高，等于1．
VD1-A1AE===．
（Ⅲ）当点M是CD的中点时，有使D1M⊥平面DEG．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥面CDD1C1，
∵D1M⊂面CDD1C1，∴BC⊥D1M．又 BC∥EG，∴D1M⊥EG．
再由D1M⊥DG 可得，D1M垂直于平面DEG内的两条相交直线EG和DG，
故D1M⊥平面DEG．