Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD的中点．
（I）求证：EF⊥面BCD；
（II）求多面体ABCDE的体积；
（III）求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

Answer

（I）取BC中点G，连FG，AG．根据AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，从而BD⊥AG．进而可证AG⊥平面BCD．又可证四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（II）设AB中点为H，则根据AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．从而可求四棱锥C-ABDE的体积．
（III）过C作CK⊥DE于K，连接KH．由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角．进而可求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．
【解析】
（I）取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG⊂面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD=2，所以FG∥BD且FG=BD=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD．
（II）设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．
故四棱锥C-ABDE的体积为VC-ABDE=SABDE•CH=[（1+2）×2×]=．
（III）过C作CK⊥DE于K，连接KH．
由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角．
易知EC=，DE=，CD=2．
由S△DCE=×2×=×CK，可得CK=．
在Rt△CHK中，sin∠HKC==，所以cos∠HKC=，
所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为．