Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设=λ₁，=λ₂，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer

（I）设F1（-c，0），F2（c，0）．在△AF1F2中，由正弦定理得==，由此能求出e=．
（II）设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2）．当y=0时，λ1+λ2=2=；当AB或AC与x轴垂直时，λ1+λ2=．．当AB，AC都不与x轴垂直且y≠0时，AC的方程为y=（x-c），由此能证明λ1+λ2=．
【解析】
（I）设F1（-c，0），F2（c，0）．在△AF1F2中，由正弦定理得
==，
即|AF1|=，|AF2|=，
所以2a=|AF1|+|AF2|=+，
=2c（+）=2c•，
得e=．
（II）设A（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2）．
①当y=0时，λ1+λ2=2=；当AB或AC与x轴垂直时，λ1+λ2=．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y≠0时，AC的方程为y=（x-c），
由，
消x得[b2（x-c）2+a2y2]y2+2b2y（x-c）y+c2b2y2-a2b2y2=0．
由韦达定理得  y2y=，
所以y2=，
所以 λ2==-=-，
同理可得λ1==-=-，
故λ1+λ2=．