Question

设函数f（x）=x³+x²+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域为R．当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值．
（I）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；
（II）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=4，求实数b的取值范围．

Answer

法一  （Ⅰ）先求导数：f'（x）=ax2+（b-1）x+1．根据f（x）当x=x1时取得极大值，当x=x2时取得极小值，由题知，f'（x）=0的两个根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，利用根的分布得出关于a，b的不等关系，结合二次函数的性质即可得到答案；
（Ⅱ）利用方程ax2+（b-1）x+1=0的两个根x1，x2（x1＜x2），根据根与系数的关系结合又|x1-x2|=4，得a，b的范围即可．
法二  （Ⅰ）先求导数f'（x）=ax2+（b-1）x+1．由题知，f'（x）=0的两个根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，利用二次方程根的分布得出a，b的不等式组，得-＞-1．最后结合二次函数的性质得出结论．
（Ⅱ）因为x1•x2=＞0，所以x1，x2同号得出两根的范围：0＜x1＜2，则x2＞4．结合根的分布得出实数b的取值范围．
【解析】
法一  f'（x）=ax2+（b-1）x+1．
因为f（x）当x=x1时取得极大值，当x=x2时取得极小值．
所以f'（x）=ax2+（b-1）x+1=0的两根为x1，x2，且x1＜x2．
（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，a＞0
当且仅当
所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-＞-1．
因为函数g（x）=ax2+bx+1在区间（-∞，-）上是单调减函数，
所以函数g（x）=ax2+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；
（Ⅱ）因为方程ax2+（b-1）x+1=0的两个根x1，x2（x1＜x2），且x1•x2=＞0，所以x1，x2同号．
又|x1-x2|==4，所以（b-1）2=16a2+4a．③
若-2＜x1＜0，则-2＜x1＜x2＜0，则|x1-x2|＜2，与|x1-x2|=4矛盾，
所以0＜x1＜2，则所以4a+1＜2（1-b），
结合③得（4a+1）2＜4（1-b）2=4（16a2+4a），解得a＞或-a＜．结合a＞0，得a＞．
所以2（1-b）＞4a+1＞，得b＜．
所以实数b的取值范围是（-∞，）．
法二  f'（x）=ax2+（b-1）x+1．
（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x1，x2满足x1＜2＜x2＜4，
当且仅当
由①得，-b＞2a-．
因为a＞0，所以-＞1-．③
由结合③，得-＞-1．
因为函数g（x）=ax2+bx+1在区间（-∞，-）上是单调减函数，
所以函数g（x）=ax2+bx+1在区间（-∞，-1）上是单调减函数；
（Ⅱ）因为x1•x2=＞0，所以x1，x2同号．
由|x1|＜2，得-2＜x1＜2．
若-2＜x1＜0，则-2＜x1＜x2＜0，则|x1-x2|＜2，与|x1-x2|=4矛盾，
所以0＜x1＜2，则x2＞4．
所以得b＜．
又因为|x1-x2|==4，所以（b-1）2=16a2+4a．
根据④⑤得得结合b＜，得b＜；
所以实数b的取值范围是（-∞，）．