Question

已知函数f （x）=-x²-x⁴-x⁶，x₁，x₂，x₃∈R且x₁+x₂＜0，x₂+x₃＜0，x₃+x₁＜0，则f′（x₁）+f′（x₂）+f′（x₃）的值是（f′（x）是f （x）的导数）（ ）
A．一定小于零
B．等于零
C．一定大于零
D．正负均有可能

Answer

利用求导法则求出函数f（x）的导函数f′（x），可得导函数为减函数，且为奇函数，设出x1＜x2＜x3，由已知的x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0可得x1，x2都为负数，x3正负不确定，故讨论：当x3小于等于0时，根据导函数为减函数且为奇函数可得f′（x3）大于等于0，同时可得f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3），即可得到f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）的值大于0；当x3大于0时，-x3小于0，可得f′（-x3）大于0，同时可得f′（x1）＞f′（-x3），f′（x2）＞f′（-x3），根据不等式的性质及奇函数的性质可得f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）的值大于0，综上，f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）的值大于0．
【解析】
求导得：f′（x）=-2x-4x3-6x5，
可得f′（x）在R上是减函数，且为奇函数，
不妨设x1＜x2＜x3，
由x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0可得：x1＜0，x2＜0，
若x3≤0，可得f′（x3）≥f′（0）=0，即f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3）≥0，
则有f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）＞0；
若x3＞0，-x3＜0，则有f′（-x3）＞f′（0）=0，
且f′（x1）＞f′（-x3），f′（x2）＞f′（-x3），
∴f′（x1）+f′（x2）＞2f′（-x3），
即f′（x1）＞f′（x2）＞f′（x3）＞f′（-x3）＞0，
综上，f′（x1）+f′（x2）+f′（x3）＞0．
故选C