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从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,...

从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:
(1)求长方体的容积V关于x的函数表达式;
(2)x取何值时,长方体的容积V有最大值?
(1)先求出长方体的底面正方形的边长和高,便可求出长方体的容积V解析式. (2)把容积V变形后使用基本不等式求出最大值,注意分析等号成立条件能否满足, 当等号成立条件不能满足时,利用导数值的符号确定函数的单调性,由单调性确定函数的最大值. 【解析】 (1)长方体的底面正方形的边长为2a-2x,高为x,所以,容积V=4(x-a)2x, 由,得 0<x≤, (2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x), 当a-x=2x,即时等号成立. ①当,即,; ②当,即时,, 则V′(x)在上单调递减, ∴, ∴V(x)在单调递增, ∴ 总之,若,则当时,; 若,则当时,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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