Question

已知三次曲线C：f （x）=x³+bx²+cx+d的图象关于点A（1，0）中心对称．
（1）求常数b的值及c与d的关系；
（2）当x＞1时，f （x）＞0恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）由图象关于A（1，0）对称得f （x）+f（2-x）=0恒成立，即：（2b+b）x2-4（b+3）x+2d+2c+4b+8=0恒成立，则可得，整理可得
（2）由f（x）＞0可得x3-3x2+cx+2-c＞0恒成立，x2-2x-2+c＞0恒成立，结合x＞1及二次函数的性质可求c的范围
（1）由图象关于A（1，0）对称得f （x）+f（2-x）=0恒成立
即：（2b+6）x2-4（b+3）x+2d+2c+4b+8=0恒成立
∴
∴…（6分）
（2）f（x）＞0得
x3-3x2+cx+2-c＞0恒成立
x3-3x2+2+（x-1）c＞0
即（x-1）（x2-2x-2）+c（x-1）＞0
∴x2-2x-2+c＞0恒成立
而x＞1时 x2-2x-2+c＞-3+c≥0
∴c≥3…（12分）