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已知,A是抛物线y2=2x上的一动点,过A作圆(x-1)2+y2=1的两条切线分...

已知,A是抛物线y2=2x上的一动点,过A作圆(x-1)2+y2=1的两条切线分别切圆于EF两点,交抛物线于M.N两点,交y轴于B.C两点
(1)当A点坐标为(8,4)时,求直线EF的方程;
(2)当A点坐标为(2,2)时,求直线MN的方程;
(3)当A点的横坐标大于2时,求△ABC面积的最小值.

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(1)由DEFA四点共圆,知EF是圆(x-1)2+y2=1及(x-1)(x-8)+y(y-4)=0的公共弦,由此能求出EF的方程. (2)设AM的方程为y-2=k(x-2),由kx-y+2-2k=0与圆(x-1)2+y2=1相切得=1,由此能求出MN的方程. (3)设P(x,y),B(0,b),C(0,c),设b>c,直线PB的方程为y-b=,由圆心(1,0)到PB的距离为1,知=1,故(x-2)b2+2yb-x=0,同理有(x-2)c2+2yc-x=0,故b,c是方程(x-2)t2+2yt-x=0的两个实数根,由此能求出S△PBC的最小值. 【解析】 (1)∵DEFA四点共圆 EF是圆(x-1)2+y2=1及(x-1)(x-8)+y(y-4)=0的公共弦 ∴EF的方程为7x+4y-8=0…(4分) (2)设AM的方程为y-2=k(x-2) 即kx-y+2-2k=0与圆(x-1)2+y2=1相切得 =1 ∴k=, 把y-2=(x-2)代入y2=2x得M(,),而N(2,-2) ∴MN的方程为3x+2y-2=0…(8分) (3)设P(x,y),B(0,b),C(0,c),不妨设b>c, 直线PB的方程为y-b=, 即(y-b)x-xy+xb=0 又圆心(1,0)到PB的距离为1,所以=1,故 (y-b)2+x2=(y-b)2+2xb(y-b)+x2+b2 又x>2,上式化简得(x-2)b2+2yb-x=0 同理有(x-2)c2+2yc-x=0 故b,c是方程(x-2)t2+2yt-x=0的两个实数根 所以b+c=-,bc=-,则(b-c)2=, 因为P(x,y)是抛物线上的点,所以有y2=2x,则 (b-c)2=,b-c=, ∴S△PBC=(b-c)x==x-2++4≥2+4=8 当(x-2)2=4时,上式取等号,此时x=4,y=±2, 因此S△PBC的最小值为8…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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