Question

如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC．
（1）求AD与平面ABC所成的角的大小；
（2）若AB=2，求点B到平面ACD的距离．

Answer

（1）因为AB⊥平面BCD，直线CD在平面BCD内，所以AB⊥CD且∠DAB是AD与平面BCD所成的角，则∠DAB=30°．又BC⊥CD，且AB．BC是平面ABC内的两条相交直线，所以CD⊥平面ABC，则∠DAC是AD与平面ABC所成的角．由此能求出AD与平面ABC所成的角．
（2）过B作BE⊥AC，交AC于E，由AB=BC=2，AB⊥BC，知E是AC的中点，由CD⊥平面ABC，知BE⊥CD，所以BE⊥面ACD，故点B到平面ACD的距离就是BE的长．
【解析】
（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，
∴AB⊥CD，且∠DAB是AD与平面BCD所成的角，
∴∠DAB=30°
∵BC⊥CD，AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∴∠DAC是AD与平面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，AB=BC
由勾股定理得AC=AB
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=30°
∴AD=2AB
∴在Rt△ACD中，∠ACD=90°
cos∠DAC===，
∴∠DAC=45°，
所以AD与平面ABC所成的角是45°．
（2）过B作BE⊥AC，交AC于E，
∵AB=BC=2，AB⊥BC，
∴E是AC的中点，
AC=2，BE=，
∵CD⊥平面ABC，
∴BE⊥CD，
∴BE⊥面ACD，
故点B到平面ACD的距离=BE=．