Question

已知椭圆+=1经过点P（，），离心率是，动点M（2，t）（t＞0）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且别直线3x-4y-5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F做OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON长是定值，并求出定值．

Answer

（1）由椭圆+=1离心率是，设椭圆方程设为，把点P（，）代入，得，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），半径r=，方程为，由以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，知，由此能求出所求圆的方程．
（3）设N（x，y），点N在以OM为直径的圆上，所以x2+y2=2x+ty，又N在过F垂直于OM的直线上，所以2x+ty=2，由此能求出ON．
【解析】
（1）∵椭圆+=1经过点P（，），
离心率是，
∴椭圆方程设为，
把点P（，）代入，
得，
解得4k2=2，
∴椭圆的标准方程是．
（2）以OM为直径的圆的圆心是（1，），
半径r=，
方程为，
∵以OM为直径圆直线3x-4y-5=0截得的弦长为2，
∴圆心（1，）到直线3x-4y-5=0的距离d=，
∴，
解得t=4，
∴所求圆的方程是（x-1）2+（y-2）2=5．
（3）设N（x，y），
点N在以OM为直径的圆上，
所以x（x-2）+y（y-t）=0，
即：x2+y2=2x+ty，
又N在过F垂直于OM的直线上，
所以，
即2x+ty=2，
所以．