Question

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}，a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1），且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），其中a，k均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{a_n}为等比数列，求函数f（x）的解析式．

Answer

（Ⅰ）利用等差数列的定义an+1-an=an-an-1，an=f（an-1），易得k=1
（Ⅱ）利用等比数列的定义证明数列{bn}是等比数列，进而写出数列{bn}的通项公式
（Ⅲ）由数列{bn}是等比数列，即{an+1-an}是等比数列，利用累加法，可求得数列{an}的通项公式，若数列{an}为等比数列
则通项公式为an=Aqn-1形式，经对照可得函数解析式
【解析】
（Ⅰ）由已知an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），
   an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1），
∵数列{an}是等差数列，∴an+1-an=an-an-1
∴k=1
（Ⅱ）由b1=a2-a1≠0，可得b3=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0
且当n＞2时
bn=an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）=…=kn-1（a2-a1）≠0
且===k
∴数列{bn}是一个以首项为b1，公比为k的等比数列
∴数列{bn}的通项公式为  bn=kn（n∈N*）
（Ⅲ）若数列{an}为等比数列，由（Ⅱ）得bn=kn-1（a2-a1）
∴b1+b2+b3+…+bn-1=（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an-a1
∴an=a1+（b1+b2+b3+…+bn-1）
当k=1时，an=a1+（a2-a1）（n-1）（n≥2）
上式对n=1也成立，所以数列{an}的通项公式为an=a+（f（a）-a）（n-1）
所以当k=1时，数列{an}是一个以首项为a，公差为f（a）-a的等差数列
∴k≠1
当k≠1时，an=a1+（a2-a1） （n≥2）
上式对n=1也成立
∴an=a+（f（a）-a）=a+-
∴a+=0
∴f（a）=ka
∴等式f（a）=ka对任意实数a均成立
∴f（x）=kx （k≠1）