Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）求证：AB₁⊥BC₁．
（2）求：二面角C-AC₁-B的大小．

Answer

（1）根据直三棱柱的几何特征，侧面与底面垂直，结合∠ACB=90°，由面面垂直的性质定理易得AC⊥平面BCC1B1，又由AC=BC=CC1=2，可得BCC1B1为正方形，即BC1⊥B1C，进而由三垂线定理得到AB1⊥BC1．
（2）连接A1C交AC1于点O，连接BO，由线面垂直的判定定理可证明BC⊥平面ACC1，进而BO⊥AC1，结合二面角的定义可得∠BOC即为二面角C-AC1-B的平面角，解Rt△BCO可得答案．

证明：（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，
∴AC⊥平面BCC1B1，
连接B1C，则∵BCC1B1为正方形，
∴BC1⊥B1C，
∴由三垂线定理知：AB1⊥BC1．…（6分）
【解析】
（2）连接A1C交AC1于点O，连接BO，
则：∵BC⊥AC，BC⊥CC1，
∴BC⊥平面ACC1，又CO⊥AC1，
∴BO⊥AC1，
∴∠BOC即为二面角C-AC1-B的平面角…（10分）
在Rt△BCO中：，
∴
∴二面角C-AC1-B的大小为：．…（13分）