Question

已知函数，若函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．
（1）求：函数h（x）=f（x）-x的单调递增区间．
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求：实数k的取值范围．

Answer

（1）根据函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．求出f（x）=-x3+x2+2x-1，再利用导数法求函数的单调递增区间．
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立⇔当x1，x2∈[-1，1]时，f（x1）max+k＜g（x2）min成立，利用导数法，可求最值，从而得解．
【解析】
（1）由题意：，∴a+3b=0…①
又g′（x）=-2x+1，∴g（x）的图象在点P切线的斜率为：g′（1）=-1
又f′（x）=ax2+2bx+2，∴f（x）的图象在点P切线的斜率为：f′（1）=a+2b+2=1…②
由①②可解得：a=-3，b=1，∴f（x）=-x3+x2+2x-1，…（3分）
∴h（x）=f（x）-x=-x3+x2+x-1，∴h′（x）=-3x2+2x+1=（3x+1）（-x+1）
令h′（x）=（3x+1）（-x+1）≥0，解得：
即函数h（x）的单调递增区间为：．…（6分）
（2）对任意x1，x2∈[-1，1]，f（x1）+k＜g（x2）恒成立⇔当x1，x2∈[-1，1]时，f（x1）max+k＜g（x2）min成立…（★）        …（8分）
∵f′（x）=-3x2+2x+2，x∈[-1，1]，令f′（x）＞0，解得：
∴f（x）区间上递减，在区间上递增
又f（-1）=-1，f（1）=1，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）max=f（1）=1…（10分）
而，
∴当x∈[-1，1]时，g（x）min=g（-1）=-1
∴由（★）式有：1+k＜-1，
∴实数k的取值范围为：（-∞，-2）．…（12分）