Question

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，且△AOB的面积为，求：实数k的值．

Answer

（1）因为椭圆离心率为e==，又因为短轴一个端点到右焦点的距离为a=，故c=，从而b2=a2-c2=1，椭圆C的方程为．
（2）先由原点O到直线l的距离为，得等式，再将直线l与椭圆联立，利用韦达定理和△AOB的面积为，得等式•=，最后将两等式联立解方程即可得k值
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，
∴b=1，∴所求椭圆方程为．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由已知，得．
又由，消去y得：
（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．
∴|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=
==
又，
化简得：9k4-6k2+1=0
解得：