Question

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记f（x）=Re
（1）试写出f（x）关于x的函数解析式
（2）若函数f（x）是偶函数，求k的值
（3）求证：对任意实数m，由（2）所得函数y=f（x）的图象与直线y=x+m的图象最多只有一个交点．

Answer

（1）由z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi，求出z1•z2后，结合f（x）=Re（z1•z2），可得f（x）关于x的函数解析式
（2）根据函数f（x）是偶函数，根据偶函数的性质，构造关于k的方程，解方程可求出k的值
（3）由（2）中结论，联立方程y=log2（2x+1）-x和y=x+m，即2x•（2m-1）=1，分别讨论 m=0，m＜0，m＞0，三种情况下函数y=f（x）的图象与直线y=x+m的图象交点个数，即可得到答案．
【解析】
（1）∵z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi
∴z1•z2=[log2（2x+1）+ki]•（1-xi）
=[log2（2x+1）+kx]+[k-x•log2（2x+1）+ki]i（2分）
f（x）=Re（z1•z2）=log2（2x+1）+kx（2分）
（2）设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）（4分）
log2（2x+1）-kx=log2（2x+1）+kx
2kx=log2（）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-（8分）
证明：（3）由（2）得：f（x）=log2（2x+1）-x
联立方程：y=log2（2x+1）-x和y=x+m
得：log2（2x+1）-x=x+m （10分）
即m=log2（2x+1）-x
log2（2x+1）=x+m=log22（x+m）
得：2x+1=2（x+m）
2x•（2m-1）=1（11分）
若 m=0   方程无解（12分）
若 m＜0，2m-1＜0，2x＜0方程无解（13分）
若m＞0  2x=
x=log2
方程有唯一解（14分）
对任意实数m，函数y=f（x）的图象与直线y=x+m的图象的交点最多只有一个．（15分）