Question

已知：函数，有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{a_n}对n≥2，n∈N总有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求出数列{a_n}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{b_n}满足：{b_n}为{a_n}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{a_n}的项）且{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．

Answer

（1）由
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以，则可得△=（b-1）2=0，从而可求a，b
解法二：=x 即x（-1）=0，由方程有唯一的根可得-1=0的根也是x=0，从而可求a，b
（2）由，从而可得{ }为等差数列，可求
（3）结合（2）可设{bn} 的首项为，公比为q （ ）由无穷等比数列的各项和为：，可得；当m=3 时，，；
当 若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．，m＞4，则由可得 与 矛盾从而可求．
【解析】
（1） （1分）
解法一：f（x）=x 有唯一根，所以，（1分）
∴△=（b-1）2=0，（1分）
b=1 a=1 （1分）
有 b=1 a=1 得：方程的根为：x=0（1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
解法二：=x
x（-1）=0（1分）
x1=0，因为方程有唯一的根（1分）
即：-1=0的根也是x=0，（1分）
得b=1 a=1 （1分）
经检验x=0是原方程的根（1分）
（2） （2分）
∴{ }为等差数列 （1分）
∴ （2分）
所以 （1分）
（3）设{bn} 的首项为，公比为q （ ）（1分）
所以这个无穷等比数列的各项和为：，（1分）
；当m=3 时，，；
当 （2分）
若当m=1，m=2 时，显然不符合条件．
m＞4，则∴ 与 矛盾．
∴只有两个符合条件的数列．（2分）