Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA₁=12，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B₁C
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer

（1）证明C1C⊥AC，AC⊥BC，可得AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，故AC⊥B1C．
（2）连接BC1交B1C于O点，由三角形中位线的性质得OD∥AC1，又OD⊂平面CDB1，可得AC1∥平面CDB1．
【解析】
（1）∵C1C⊥平面ABC，AC⊂面ABC，∴C1C⊥AC．
∵AC=9，BC=12，AB=15，∴AC⊥BC． 又 BC∩C1C=C，
∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C．
（2）连接BC1交B1C于O点，连接OD，
∵O，D分别为BC1，AB的中点，
∴OD∥AC1，又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．