Question

如图，点A，B分别是椭圆的长轴的左右端点，点F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为：且PA⊥PF．
（1）求直线AP的方程；
（2）设点M是椭圆长轴AB上一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer

（1）根据两直线垂直，求得AP的斜率，利用椭圆方程求得A的坐标，然后利用点斜式求得直线AP的方程．
（2）设出点M的坐标，利用两点间的距离公式利用题设建立等式求得m，进而可利用两点间的距离公式，表示出椭圆上的点到点M的距离d，利用x的范围和二次函数的单调性求得函数的最小值．
【解析】
（1）由题意得，A的坐标为（-6，0）
则直线AP的方程为：．
（2）设M（m，0），则，解得m=2或m=18（舍去），故M（2，0）．
，x∈[-6，6]，
所以当时，dmin2=15，即．