Question

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0）．
（1）函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，求实数m的值；
（2）当x∈[-1，1]时，函数f（x）的图象上的任意一点切线的斜率恒大于3m，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先求出导函数f'（x），根据函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，可知x=是函数的极值，从而f'（）=0，解之即可求出m的值；
（2）本小问可转化成f'（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6＞3m在区间[-1，1]恒成立，即3mx2-6（m+1）x+6＞0在区间[-1，1]恒成立，将x=-1和x=1代入使之成立，即可求出m的范围．
【解析】
（1）f'（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6（1）
由题意得，所以m=-4．（6）
（2）f'（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6＞3m在区间[-1，1]恒成立，
即3mx2-6（m+1）x+6＞0在区间[-1，1]恒成立．（10）
设F（x）=3mx2-6（m+1）x+6＞0，则有，解得．（14）