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设G是△ABC的重心,且,则B的大小为( ) A.15° B.30° C.45°...

设G是△ABC的重心,且manfen5.com 满分网,则B的大小为( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
设出三角形的三边分别为a,b,c,根据正弦定理把已知的等式化简,然后由G为三角形的重心,根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出,和,代入化简后的式子中,然后又根据等于加,把上式进行化简,最后得到关于和的关系式,由和为非零向量,得到两向量前的系数等于0,列出关于a,b及c的方程组,不妨令c=56,即可求出a与b的值,然后根据余弦定理表示出cosB,把a,b,c的值代入即可求出cosB的值,由B的范围,利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数. 【解析】 因为 设三角形的边长顺次为a,b,c,根据正弦定理得: 56a+40b+35=, 由点G为三角形的重心,根据中线的性质及向量加法法则得: 3=+,3=+,3=+, 代入上式得:56a(+)+40b(+)+35c(+)=, 又=+,上式可化为: 56a(2+)+40b(+)+35c(-+2)=, 即(112a-40b-35c)+(-56a-40b+70c)=, 则有, ①-②得:168a=105c,即a:c=35:56, 设a=35k,c=56k,代入①得到b=49k, 所以cosB===,又B∈(0,180°), 则B=60°. 故选D
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