Question

如图，在三棱锥P-ABC中，，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D为AB的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面ABC；
（2）求PC与平面ABC所成的角的余弦值大小．

Answer

（1）先根据D为AB的中点，且AC=BC得到AB⊥CD；同理有AB⊥AD，可证AB⊥平面PDC，即可得到平面PDC⊥平面ABC；
（2）由（1）知，点P在平面ABC上的射影在直线DC上，所以∠PCD为所求角．在△PCD中，利用余弦定理可求．
【解析】
（1）证明：在△ABC中，∵D为AB的中点，且AC=BC，∴AB⊥CD，
同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）
（2）由（1）知，点P在平面ABC上的射影在直线DC上，所以∠PCD为所求角．
在△PCD中PD=，PC=，CD=．由余弦定理得：cos∠PCD=