Question

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE；     
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）（文）求D₁E与平面A₁DE所成角的大小．

Answer

（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE，所以EO为△ABD1的中位线，从而有EO∥BD1，利用线面平行的判定定理可证BD1∥平面A1DE；
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，从而可知AB⊥A1D，所以A1D⊥平面A1DE，从而有A1D⊥D1E；
（3）利用等体积先求出D1到平面A1DE的距离，设D1E与平面A1DE所成角为α，利用正弦函数可求D1E与平面A1DE所成角．
证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．
∴EO为△ABD1的中位线
∴EO∥BD1…（2分）
又∵BD1⊄平面A1DE，OE⊂平面A1DE
∴BD1∥平面A1DE…（4分）
（2）由已知可得：AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1
∴AB⊥A1D，
∵正方形AA1D1D
∴A1D⊥AD1，
AB∩AD1=A
∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E
∴A1D⊥D1E…．（4分）
（3）（文科）∵
∴
∴
∵
设D1E与平面A1DE所成角为α
∴
∴
…（6分）