Question

已知函数和函数g（x）=2^x-2^-x
（1）判断的奇偶性，并判断和证明y=lgh（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由题意h（x）===，代入检验h（-x）与h（x）的关系即可判断函数的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x1＜x2，则通过判断h（x1）-h（x2）=的正负可先判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据复合函数的单调性即可
（2）由函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数可得h（x1）-h（x2）＞0恒成立，整理可得恒成立（t=），从而可求λ的范围
【解析】
（1）f（x）==，
∵h（x）===
∴==-h（x）
∴函数h（x）为奇函数  
=由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x1＜x2，则h（x1）-h（x2）==
∵0＜x1＜x2，则，
∴h（x1）＞h（x2），lgh（x1）＞lgh（x2）
∴y1＞y2
函数y=lgh（x）在（0，+∞）上递减…（6分）
（2）∵函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数
∴
∴恒成立
∴λ≥1…（8分）