Question

已知f（x）=-数列{a_n}的前n项和为S_n，点在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}的前n项和为T_n且满足=+16a²-8n-3，设定b₁的值使得数{b_n}是等差数列；（Ⅲ）求证：S_n＞-1，n∈N^*．

Answer

（Ⅰ）由-，且an＞0，知 ，由此知 ，从而得到数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）把（I）中求出的数列的通项公式代入 中，化简后得到
，设 ，则上式变为cn+1-cn=1，得到{cn}是等差数列．求出{cn}的通项公式，
代入即可求得Tn的通项公式，然后利用bn=Tn-Tn-1即可得到数列{bn}的通项公式．
（III）由 ，知 =，由此能够证明Sn＞-1，n∈N*．
【解析】
（Ⅰ）-，且an＞0，
∴，
∴，
∴数列{ }是等差数列，首项 公差d=4
∴
∴
∵an＞0
∴（4分）（6分）
（Ⅱ）由题设知（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n+1）（4n-3）．
∴．
设 ，则上式变为cn+1-cn=1．
∴{cn}是等差数列．
∴cn=c1+n-1=+n-1=b1+n-1=n．
∴，若{bn}为等差数列，则T1=1，即b=1，
即Tn=n（4n-3）=4n2-3n．
∴当n=1时，bn=T1=1；
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=4n2-3n-4（n-1）2+3（n-1）=8n-7．
经验证n=1时也适合上式．
∴bn=8n-7（n∈N*）．
（III）证明：
∴=，
∴Sn=a1+a2+…+an＞（ -1）+（ -）+…+（ -）
=-1