Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ）求多面体ADBEG的体积．

Answer

（Ⅰ） 先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．
（Ⅱ） 过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．
（Ⅲ）要求多面体ADBEG的体积，利用分割的思想转化为VADBEG=VD-AEB+VD-BEC转化为求两个三棱锥的体积即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．
∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．
（Ⅲ）∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴EF⊥平面AEB，
由（2）知四边形BGHE为正方形，∴BE⊥BC．
∴VADBEG=VD-AEB+VD-BEC==，