Question

已知双曲线的两焦点为F₁，F₂，P为动点，若PF₁+PF₂=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）若A₁（-2，0），A₂（2，0），M（1，0），设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线A₁R与A₂Q交于点S．试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer

（I）根据双曲线的方程为：-y2=1，则|FF2|=2 ，|PF1|+|PF2|=4＞|FF2|，由此知点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4的椭圆，并能求出其方程．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，假设存在满足条件的直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上，设直线a的方程为x=my+1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用条件即可求得直线的方程，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（Ⅰ）由题意知：，
又∵PF1+PF2=4，
∴动点P（x，y）必在以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，∴a=2，
又∵，b2=a2-c2=1．
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意，可设直线l为：x=my+1．
取m=0，得，直线A1R的方程是，5
直线A2Q的方程是，交点为．
若，由对称性可知交点为．
若点S在同一条直线上，则直线只能为ℓ：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A1R与直线A2Q的交点S均在直线ℓ：x=4上．
事实上，由，得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，
记R（x1，y1），Q（x2，y2），则．
设A1R与ℓ交于点S（4，y），由，得．
设A2Q与ℓ交于点S′（4，y′），由，得．
∵
=
=
=，
∴y=y′，即S与S′重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线ℓ：x=4上．